Математичні задачі
Математичні парадокси · теорія ймовірностей

Задачі, у яких інтуїція помиляється

Відповіді на ці задачі здаються неправильними, навіть коли їх доведено. Тому тут їх не лише пояснюють: у кожну можна зіграти, перевірити тисячами симуляцій і розібрати кількома способами, від таблиці до формули.

Обрати задачу Почати з Монті Голла
  1. 1СпробуйтеЗіграйте й зафіксуйте, що підказує інтуїція.
  2. 2ПеревіртеЗапустіть тисячі експериментів у браузері.
  3. 3ЗрозумійтеОберіть пояснення, яке вам ближче.

Задачі

Кожна задача має окрему сторінку: умова, гра, симуляція, п'ять пояснень і ускладнені варіанти.

Теорія ймовірностей · 3 двері

Парадокс Монті Голла

Ви на телешоу й обрали одні з трьох дверей. Ведучий, який знає, де авто, відчиняє інші двері з козою й пропонує змінити вибір. Змінювати?

Інтуїція50 / 50
Насправді2/3 за зміну

Найвідоміша задача про умовну ймовірність. Її правильну відповідь у 1990 році заперечували тисячі читачів, серед них математики з науковими ступенями.

  • сцена з фільму «21»
  • гра з трьома дверима
  • симуляція 10 000 ігор
  • п'ять пояснень
  • 20 і 100 дверей
Розібратися з парадоксом Монті Голла →
Спробуйте тут

Експоненційне зростання · 30 днів

Задача про ряску в озері

Ряска щодня подвоюється, і одна рослина вкриває озеро за 30 днів. За скільки днів упораються дві рослини?

Інтуїція15 днів
Насправді29 днів

Класична задача про експоненційне зростання і подвоєння: чому половина озера заростає лише за останню добу.

  • вгадайте відповідь
  • озеро, що заростає
  • криві для 1–1 000 рослин
  • п'ять пояснень
  • бактерії в пляшці
Розібратися із задачею про ряску →
Спробуйте тут

Комбінаторика · 365 днів

Парадокс днів народження

Скільки людей має зібратися в кімнаті, щоб двоє з них, імовірно, народилися в один день?

Інтуїція≈ 183 людини
Насправді23 людини

Задача про те, як швидко зростає кількість пар. На тій самій ідеї побудована «атака днів народження» на криптографічні хеші.

  • вгадайте відповідь
  • кімната на календарі
  • симуляція 10 000 кімнат
  • п'ять пояснень
  • PIN-коди, хеші, трійки
Розібратися з парадоксом днів народження →
Спробуйте тут

Теорема Баєса · медичні тести

Парадокс хибнопозитивного тесту

Хворобу має 1% людей. Тест точний на 99%, і ваш результат позитивний. Який шанс, що ви справді хворі?

Інтуїція99%
Насправді50%

Задача про помилку базової частоти: коли хвороба рідкісна, навіть точний тест дає стільки ж хибних тривог, скільки справжніх знахідок.

  • вгадайте відповідь
  • тисяча людей у сітці
  • симуляція 100 000 тестів
  • п'ять пояснень
  • повторний тест, спам, шахрайство
Розібратися з хибнопозитивним тестом →
Спробуйте тут

Оптимальна зупинка · 1/e

Правило 37%: задача про секретаря

100 кандидатів приходять по одному, і відповідь треба дати одразу. Який шанс найняти найкращого?

Інтуїція≈ 1%
Насправді37%

Класична задача оптимальної зупинки: пропустіть перші 37% кандидатів, а потім беріть першого, хто кращий за всіх попередніх.

  • вгадайте відповідь
  • гра на 20 кандидатів
  • симуляція для будь-якої межі
  • п'ять пояснень
  • трійка найкращих і друга спроба
Розібратися з правилом 37% →
Спробуйте тут

Статистика · таблиця 2×2

Парадокс Сімпсона

Метод A лікує і малі, і великі камені в нирках краще за метод B. Чи може B бути кращим для всіх пацієнтів разом?

ІнтуїціяНі, A краща
НасправдіB: 83% проти 78%

Задача про те, як об'єднання груп може перевернути висновок, і чому для рішень потрібна причинна схема, а не лише загальні відсотки.

  • оберіть лікування
  • редактор таблиці 2×2
  • тисячі випадкових таблиць
  • п'ять пояснень
  • бейсбол і Берклі
Розібратися з парадоксом Сімпсона →
Спробуйте тут

Умовна ймовірність · 2 дитини

Парадокс двох дітей

У сім'ї двоє дітей, і хоча б одна з них хлопчик. Який шанс, що обидві діти хлопчики? А якщо це хлопчик, народжений у вівторок?

Інтуїція1/2
Насправді1/3 і 13/27

Задача про те, що відповідь залежить від того, як ви отримали інформацію. Навіть день тижня народження змінює шанс.

  • три фрази, три відповіді
  • колода випадкових сімей
  • симуляція 100 000 сімей
  • сітка 14 × 14
  • рідкісні деталі, троє дітей
Розібратися з парадоксом двох дітей →
Спробуйте тут

Геометрична ймовірність · π

Голка Бюффона

Сірник завдовжки як ширина дошки падає на дерев'яну підлогу навмання. Як часто він перетинає шов між дошками?

Інтуїція≈ 50%
Насправді2/π ≈ 63,7%

Випадковий експеримент без жодного кола, з якого виходить число π. Один з найперших прикладів методу Монте-Карло.

  • вгадайте частку
  • підлога й сірники
  • мільйон кидків
  • звідки береться π
  • сітка, кільце, точки
Розібратися з голкою Бюффона →
Спробуйте тут

Теорія графів · середні

Парадокс дружби

У кого більше друзів: у вас чи, в середньому, у ваших друзів?

Інтуїціяпорівну
Насправдіу друзів більше

Чому в майже будь-якій мережі ваші друзі популярніші за вас: зміщена вибірка, формула E[d²]/E[d] і той самий ефект у класах, автобусах і епідеміях.

  • вгадайте частку
  • мережа з 36 людей
  • мережі з тисяч людей
  • п'ять пояснень
  • класи, автобуси, грип
Розібратися з парадоксом дружби →
Спробуйте тут

Геометрія · 40 075 км

Мотузка навколо Землі

Мотузку навколо екватора подовжили на 1 метр і рівномірно підняли. Яка щілина між нею і землею?

Інтуїціямікроскопічна
Насправді15,9 см

Задача про довжину кола: зайвий метр мотузки піднімає її на 1/(2π) м для будь-якої кулі, від апельсина до Сонця.

  • вгадайте щілину
  • п'ять куль у масштабі
  • графік від апельсина до Сонця
  • п'ять пояснень
  • намет заввишки 121 м
Розібратися із задачею про мотузку →
Спробуйте тут

Перестановки · 100 коробок

100 в'язнів і 100 коробок

Кожен із 100 в'язнів може відкрити 50 коробок зі 100, щоб знайти свій номер. Усіх звільнять, лише якщо знайдуть усі. Який шанс у найкращої стратегії?

Інтуїція≈ 0%
Насправді31,2%

Задача про те, як випадкова перестановка розпадається на цикли і як пов'язати долі в'язнів, щоб вони вигравали разом.

  • вгадайте відповідь
  • зіграйте в'язнем
  • симуляція 10 000 тюрем
  • чотири пояснення
  • підступний наглядач
Розібратися із задачею про 100 в'язнів →
Спробуйте тут

Психологія мислення · 3 питання

М'яч і бита: тест когнітивної рефлексії

Бита й м'яч разом коштують 1,10 $. Бита на 1 долар дорожча за м'яч. Скільки коштує м'яч?

Інтуїція10 центів
Насправді5 центів

Три питання тесту Шейна Фредеріка, де швидка відповідь здається очевидною і виявляється неправильною. Про Систему 1 і Систему 2 та звичку перевіряти першу думку.

  • тест на час
  • смужкова модель і цех
  • статистика сесії
  • п'ять пояснень
  • нові задачі-пастки
Розібратися з тестом когнітивної рефлексії →
Спробуйте тут

Ймовірність · 50 наліпок

Скільки наліпок потрібно, щоб зібрати альбом

В альбомі 50 місць, а наліпки в пакетиках випадкові. Скільки наліпок у середньому треба купити, щоб заповнити весь альбом?

Інтуїція≈ 70 наліпок
Насправді≈ 225 наліпок

Задача про збирача купонів: чому останні наліпки в альбомі коштують найдорожче і як із цим допомагає обмін дублікатами.

  • вгадайте відповідь
  • альбом і пакетики
  • симуляція 10 000 альбомів
  • п'ять пояснень
  • обмін і рідкісні наліпки
Розібратися із задачею про збирача купонів →
Спробуйте тут

Статистика · вміння + везіння

Регресія до середнього

Після похвали гравці грають гірше, а після критики краще. Чи означає це, що критика працює?

ІнтуїціяТак, критика діє
НасправдіТак було б і без слів

Задача про те, чому після дуже вдалого результату наступний зазвичай гірший, а після дуже поганого кращий, і навіщо медичним дослідженням контрольна група.

  • вгадайте відповідь
  • тренер і 30 гравців
  • 3 000 гравців і повзунок везіння
  • п'ять пояснень
  • ліки, обкладинки, зріст
Розібратися з регресією до середнього →
Спробуйте тут

Імовірність · логіка міркувань

Парадокс двох конвертів

В одному конверті вдвічі більше грошей, ніж в іншому. Ви взяли один. Чи варто його обміняти?

Інтуїціяміняти: +25%
Насправдібайдуже

Розрахунок «в іншому 2A або A/2, отже, 1,25A» здається бездоганним. Розбираємо, де він ламається і коли обмін справді вигідний.

  • вгадайте відповідь
  • гра з ведучим
  • симуляція 100 000 раундів
  • п'ять пояснень
  • поріг Кавера і краватки
Розібратися з парадоксом двох конвертів →
Спробуйте тут

Ймовірність · 100 кидків

Серії в підкиданні монети

Якою буває найдовша серія однакових сторін, якщо підкинути чесну монету 100 разів?

Інтуїція3–4 кидки
Насправді≈ 7 кидків

Чому випадковість не схожа на випадковість: довгі серії, помилка гравця і «гаряча рука» в баскетболі.

  • вгадайте відповідь
  • обдуріть детектор
  • 100 000 послідовностей
  • п'ять пояснень
  • рулетка і гаряча рука
Розібратися із серіями в підкиданні монети →
Спробуйте тут

Геометрична ймовірність · хорди

Парадокс Бертрана

У колі навмання проводять хорду. Який шанс, що вона довша за сторону вписаного рівностороннього трикутника?

Інтуїціяодна відповідь
Насправді1/3 · 1/2 · 1/4

Задача Жозефа Бертрана 1889 року про те, що «навмання» нічого не означає без способу вибору. Три способи обрати хорду дають три правильні відповіді.

  • вгадайте шанс
  • три способи провести хорду
  • 100 000 хорд
  • дуга, радіус, внутрішнє коло
  • соломинки Джейнса
Розібратися з парадоксом Бертрана →
Спробуйте тут

Про проєкт

Це збірка інтерактивних пояснень відомих математичних парадоксів і задач з теорії ймовірностей: парадоксу Монті Голла, парадоксу днів народження та інших. Кожна сторінка поєднує умову задачі, гру, симуляцію, кілька незалежних пояснень і ускладнені варіанти.

Усе працює в браузері, без реєстрації, українською та англійською. Сайт створено разом з AI, і нові задачі додаються поступово.

Задачі зручно використовувати й на співбесідах. Вони добре показують, як людина міркує: чи помічає хибне припущення, чи готова засумніватися в очевидній відповіді і чи вміє пояснити свою думку. Інтерактивна сторінка допомагає розібрати задачу разом після розмови.

Школярам і студентамПобачити, як працює ймовірність, а не лише вивчити формулу.
ВчителямГотові інтерактиви для уроку: гра, симуляція, пояснення.
Тим, хто проводить співбесідиДайте кандидату умову, вислухайте міркування, а потім разом перевірте відповідь грою і симуляцією.
Усім, хто сперечавсяПосилання, яке переконає співрозмовника краще за слова.
Про автора Дмитро Кудренко

Дмитро Кудренко

Співзасновник компаній

На співбесідах я люблю обговорювати логічні задачі, на які інтуїтивно хочеться відповісти неправильно, хоча в них є точне математичне рішення. Для мене ніколи не було важливо, чи правильно відповів кандидат. Важливо інше: чи може він у розмові поставити під сумнів хибне припущення, а якщо він правий, то наскільки добре пояснює свою ідею або спростовує чужу.

Якось я пояснював синові одну з найвідоміших таких задач, ту, що з фільму «21», а потім знайомим. І помітив, що кожному заходить своє пояснення, залежно від складу розуму. Так з'явилася ідея цього проєкту: візуалізувати такі задачі, давати кілька простих пояснень і ускладнювати їх для тих, хто математично допитливий.

Перші кілька задач я зробив разом з AI, щоб перевірити ідею. Але проєкт мені так сподобався, що зупинитися вже було важко, тож задач тут ставатиме більше.

Розсилка

Нові задачі, пояснення й обговорення

Я поступово додаю нові задачі, інші способи їх пояснити й розбори дискусій. Залиште email, і я напишу, коли з'явиться щось нове. Без спаму, відписатися можна в один клік.

Форма підписки з'явиться тут найближчим часом.